钡鹊纫脖妊罨缘木殴楦杈骷虻ッ魅贰４送庠谠购芰餍小肮槌痹谧龆辔皇ㄊ毕取肮椤焙蟆凹酢币约蚧ㄔ怂恪＜趾唷端惴ㄈ芗芳怯兴惴ǜ杈鳎骸拔ㄓ泄槌ǜ娼砉榱舜纬Ｓ泄槿羰俏蕹鹨换亟；蛑当竟楣椴坏米补橹坛佟Ｈ艋故兜弥屑浞ㄋ阏卟⑽薏钜焕濉逼渲刑岬降淖补榫骱推鹨痪饕睬饔谕晟啤Ｈ纭抖【匏惴ā罚�1355）提到的撞归诀是“二归撞归九十二三归撞归九十三”元末何平子《洋明算法》已将其改为“见二无除作九二见三无除作九三”等等。以上这些口诀与珠算的口诀已经基本相同只不过当时还是用于筹算而已。根据这些口诀作除法时一念口诀便能立即得到商数。在这种情况下只要熟练掌握口诀具体计算本来可以变成相当简便的事情然而当时的计算工具却还是那些不很便于取用的小竹条因此手不应心的矛盾也就是计算工具与计算方法的矛盾显得更加突出了。由于社会经济的展迫切需要改进计算方法和计算工具而筹算口诀的完备已经提供了更为简便的计算方法于是一种崭新的计算工具——珠算盘便应运而生了。
珠算是在我国筹算基础上展起来的它的计算方法吸取了筹算方法尤其是筹算口诀的产生和改进对于从筹算向珠算的演变起了十分重要的作用。至于珠算究竟是什么时候产生又是什么人创造的根据现有史料还不能作出确切的回答。南北朝时期的《数术记遗》中记载了多种记数方法其中的“珠算”并非后世的珠算但是否对珠算的产生有所影响则还须作更深入的研究。有人认为北宋张择端《清明上河图》里画有一个算盘但是原图并不很清楚难以确认是否为珠算盘。元中叶之后的一些文学和戏剧作品中已经提到珠算。元末陶宗仪《辍耕录》记载一条俗谚：“凡纳婢仆初来时曰雷盘珠言不拨自动。稍久日算盘珠言拨之则动。既久曰佛顶珠言终日凝言虽拨亦不动。”1明初刊刻的一本看图识字书《对相四言杂字》有算盘图共十档上二珠下五珠。这是目前现最早的算盘图。书中1陶宗仪：《辍耕录》卷二九。
所绘人物服饰为元代式样由此可知该书原刊于元代。另一方面南宋和元初的著名数学家秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰等又都没有提起过珠算。因此珠算大约产生于元中叶以前不太久的时间。总的说来正像我们不能确切说明筹算是什么时候产生又是什么人创造的一样这种情况恰恰说明珠算和筹算都不是哪一个个人创造明的而是社会经济展的产物是广大劳动人民在长期的生产活动和日常生活中根据实际需要创造出来并逐渐加以改进和完善的。珠算盘和珠算术的明是我国古代劳动人民作出的一项意义重大、影响深远的突出贡献。
第七节中国与伊斯兰国家的数学交流中国和伊斯兰国家的接触很早的时候就已开始在宋元时期有了更进一步的展。在数学方面见于记载最早对于欧几里得《几何原本》有所研究的人是成吉思汗之孙蒙哥。《多桑蒙古史》称：“成吉思汗系诸王以蒙哥皇帝较有学识彼知解说eunetbsp；之若干图式。”1蒙哥是通过《几何原本》的阿拉伯文译本而了解古希腊数学的。1271年元世祖忽必烈下令在上都设立回回司天台由著名天文学家波斯人札马鲁丁领导。回回司天台的主要任务是编制回历供我国信仰伊斯兰教的民族使用。明朝钦天监中仍设有回回科直到清康熙时才撤销专门编制回历的机构前后共设置四百余年。在这一时期伊斯兰国家的天文数学知识6续传入我国。据元朝王士点、商企翁著《秘书监志》记载当时回回司天台曾收藏有多种阿拉伯文数学书籍如：兀忽列的四擘算法段数十五部罕里窟允解算法段目三部撤唯那罕答昔牙诸般算法段目并仪式十七部呵些必牙诸般算法八部等。有些学者认为“兀忽列的”就是eunetbsp；的音译因此欧几里得《几何原本》15卷已在元代传入我国2。后三种著作中“罕答昔牙”意为几何学“呵些必牙”意为算法但究竟具体是哪些数学著作还有待于进一步的考证。元朝时阿拉伯数码也曾传入我国。1956年在西安市郊元朝安西王府旧址掘出五块铁板上面都刻画有用东阿拉伯数码表示的六行纵横图（亦称幻方同行、同列及同一对角线上的数字之和均为111见下图）。这类铁板可能是王府人员作为驱魔避邪用的器物。198o年上海浦东6家嘴又出土一枚可佩戴的玉挂上面刻有四行纵横图所用数字亦为东阿拉伯数码3。但是这种阿拉伯数码并没有被当时的人们所广泛使用至于其纵横图的来源则尚无人研究。在明西安出土的铁板刻文及据以译出的现代纵横图代的一些著作中还介绍了在伊斯兰国家通行的“土盘算法”“格子算”（又称“铺地锦”）球面三角法和角度的六十进制等。但总的来说中世纪阿拉伯数学在中国的影响远不如它对欧洲数学所产生的巨大影响。
在阿拉伯数学传入中国的同时中国数学自然也会传入伊斯兰国家。十三世纪中叶蒙古军队西进占领巴格达之后旭烈兀汗建立了马拉盖（今属伊朗）天文台并任命著名天文学家和数学家纳拉丁·图西主持工作编制了著名的《伊儿汗历表》。这个天文台拥有四名中国天文学家据记载“旭烈兀汗曾自中国携有中国天文学家数人至波斯其中最著名者为faomoun…dji博士即当时人称为先生（singsing）者是已。纳剌丁之能知中国纪元及其天文历数者盖得之于是人也。”1这些人除天文历法外也必定熟悉中国数学并且会把中国的数学知识传播给其他国家的数学家和天文学1冯承钧译：《多桑蒙古史》下册页91中华书局1962年版。
2严敦杰：《欧几里得几何原本元代输入中国说》载《东方杂志》39卷13号1943年。3王正书：《浦东6家嘴出土元代珍贵玉挂》载《文汇报》198o年12月16日。1冯承钧译：《多桑蒙古史》下册页91中华书局1962年版。关于fao…moun…dji冯承钧认为“后二字疑为蛮子之对音其人或者姓包姓鲍”也有人将其音译为傅穆斋。
家。此外中国数学曾对于印度数学产生过重要影响。八世纪之后印度数学知识不断传入各伊斯兰国家印度数学家如婆罗摩笈多等的著作被译成了阿拉伯文。现在在流传至今的中亚数学家的一些数学著作中仍然可以找到诸如与中国古代的十进位值制记数法、分数记法、四则运算、三率法、盈不足术、重差术、百鸡问题等极其相似的数学内容和算法这些很可能是直接从中国或通过印度这两条途径传入伊斯兰国家的。在十五世纪兀鲁伯修建了撒马尔罕天文台著名数学家和天文学家阿尔·卡西是这个天文台的主持人。在阿尔·卡西的名著《算术之钥》（1247）中有些数学内容如除法、开平方和开立方法、“契丹算法”、“百鸡问题”等都有吸收了中国古代数学成就的痕迹。尤其是高次开方法开方不尽时命分的方法：araraannnn＋。＋＋…；1以及二项式定理系数表（贾宪三角）等等更和宋元算书的内容完全相同1。而这些数学知识在当时除了宋元算书外还没有任何其他国家的数学著作提到过。因此有理由认为与古希腊和印度数学一样中国数学也曾给予阿拉伯数学以一定的影响。而阿拉伯数学在世界数学史上占有公认的重要地位它对欧洲数学的展起了巨大的推动作用。
1钱宝琮：《中国数学史》页22o—224科学出版社1964年版。
第二十三章天文学第一节天文学展盛况空前在元代占统治地位的蒙古族的经济、文化虽然都远落后于汉族但天文学并没有因统治者的更换而衰落却在宋代的基础上继续有所展并在许多方面过了前代将中国天文学推向鼎盛时期。
先元初制订的《授时历》在总体水平上大大过宋代。历法的基本数据更精密计算方法有进步并有一些新的创造。其次天文仪器的制造水平有所提高。宋代浑仪的制造已很精致元初为制订《授时历》而设计制造的天文仪器却有更多的创新特别是对浑仪作了革命性的改造。第三元代建立两所大型的国家级天文台各具特色仪器风格迥然不同为中国天文学史写下了新的篇章。第四继唐代一行之后元代再次进行了大规模的天文测量不但在全国布有许多天文观测站而且有的观测站拥有创新的大型仪器。第五继宋代大规模的恒星测量之后元代的恒星观测又取得新成就。
第二节元代天文学展的社会条件蒙古族有崇敬上天的习俗。虽然保留原始时期敬畏自然力的遗风形成不同的宗教信仰敬奉不同的神祗似乎是共同的特点但蒙古族的信仰却更集中于天。《蒙鞑备录》中记有“其俗最敬天地每事必称天”。《黑鞑事略》记其风俗“其常谈必曰托着长生天底气力无一事不归之天”。从其日常用语可知他们认为“天”是长生不死的是威力无比的能得到“天”的庇护和支持就有力量战胜各种困难。这类语言甚至常常出现在成吉思汗的诏书中。如12o6年成吉思汗任命失吉忽秃忽为善上断事官诏书称：“当［我］被长生天护祐着使天下百姓入轨就范的时候你要作我的耳目任何人不得违背你的话。”（《元朝秘史》）
天可见面不可及要想知道天是不是“庇护”着自己就得求助于卜师。这些卜师充当着为人们消灾祈福的重要角色从而受到普遍的敬畏。英国人道森《出使蒙古记》记录了蒙古人“对于预卜、预言、占卜、巫术、咒语等等极为注意当天空出现新月或月圆时他们便着手去做他们愿意做的任何事情因此他们称月亮为大皇帝并向它下跪祈祷”。书中还记录了人们为了免罪而付给占卜者许多钱。这些习俗是崇敬上天的另一种表现形式。成吉思汗在征战中带有许多星占家其主要任务是在重大军事行动前作出预卜。耶律楚材就是其中最受重视的一个天文星占家。“太祖十五年（122o）八月长星见西方楚材曰：女真将易主矣明年而金主殂。”（《新元史·耶律楚材传》）由于这次成功的预卜“帝出兵必命楚材卜”。耶律楚材是契丹族人博学多才旁通天文历算及医卜1219年跟随成吉思汗出征西域。在征伐祃旗时逢雨雪三尺他释为克敌之兆而解大汗的不吉之疑进兵果胜因而为成吉思汗所看重。另外两件事更使他威信日高122o年成吉思汗身边的西域天文星占家们说这年五月望傍晚有月食楚材根据自己的推算认为没有结果证明楚材是对的；他又推算出1221年十月望有月食西域人认为没有届时果然生日偏食。这两件事使成吉思汗非常信服地对耶律楚材说：“汝于天上事尚无不知况人事乎。”（《新元史·耶律楚材传》）天象预报的准确也使崇敬上天的蒙古族统治者对天文星占更加关注成吉思汗有时还亲自灼羊脾以验证楚材所卜。
为什么耶律楚材能知天上事呢原来他是用金《大明历》作的推算事实证明这部历法是一部好的历法。据《元史·历志》称“元初承用金大明历”《新元史·历志》也载：“蒙古初无历法。太祖十五年驻跸撒马尔罕城回鹘人奏：五月望月食。中书令耶律楚材以大明历推之。”看来蒙古帝国至迟在122o年左右是沿用金《大明历》的。
金《大明历》与南朝祖冲之《大明历》同名异历。金天会十五年（1137）颁用的《大明历》实际上是受宋代优秀历法《纪元历》的影响而编成的118o年又经过金代著名数学家、历法家赵知微重新修订水平更为提高。可以说汉族天文历法对北方少数民族天文历法水平的提高产生了很大的影响而他们经过消化吸收并加以展后又产生了过《纪元历》水平的新历法。蒙古族统治者选用了金《大明历》使其最初的历法就很高。崇敬上天的习俗和传统思想以及成功地利用了《大明历》术是蒙古族早期领袖重视天文学的思想基础。
1251年成吉思汗去世由蒙哥即位。他的一个弟弟旭烈兀建立了东起阿姆河、西括小亚细亚大部地区的伊儿汗国。旭烈兀西征时不少精通天文历法的中国学者随军西征他们后来留在马拉盖天文台工作参加了《伊儿汗历表》的编纂并将中国天文历法介绍到中亚。他的另一个弟弟忽必烈总领漠南1256年在开平建立藩邸并征召回回天文学家为其工作1显然这种形势有利于中国和阿拉伯之间的天文学交流。
126o年忽必烈在开平继大汗位据《新元史·百官志》载这一年在开平设置了司天台。中统四年（1263）开平府升为上都至元四年（1267）著名天文学家札马鲁丁向忽必烈进献七件西域天文仪器。据李约瑟考证札马鲁丁可能是札马鲁丁·伊本·穆罕默德·纳贾里他曾表示不愿负责修建伊儿汗